丹尼尔。金

方差，相关系数，回归分析，统计显著性，误差范围…你以前听过这些术语和其他统计术语，你也在新闻报道和研究文章中看到过它们。但它们是什么意思呢?为什么它们如此重要?作为对理解数据的核心概念、技术和推理的介绍，本讲座课程侧重于用于洞察人类兴趣的不同领域的统计分析的基本方法。统计数据的使用、误用和滥用将是本课程的中心重点;具体的探索课题将从实验设计理论、抽样理论、数据分析和统计推理等方面展开。应用程序将被考虑在时事、商业、心理学、政治、医学和其他自然和社会科学领域。统计(电子表格)软件将在本课程中广泛介绍和使用，但假定没有相关技术的经验。小组会议，以工作坊的方式进行，将有助于加强学生对课程材料的理解。 This lecture is recommended for anybody wishing to be a better-informed consumer of data and strongly recommended for those planning to pursue advanced undergraduate or graduate research in the natural sciences or social sciences.

豪尔赫·路易斯·博尔赫斯是20世纪极具影响力的阿根廷作家，他的作品以富有想象力的智慧和对数学思想和意象的极具煽动性的运用为特色。博尔赫斯的作品——主要是短篇小说、散文和诗歌——描述了虚构的世界，扭曲了时间、空间和存在的标准概念，揭示了现代数学核心竞争概念之间不可避免的摩擦:无限对有限对无穷小(集合论);离散与连续(微积分);合理与悖论(逻辑);欧几里得与超凡脱俗(几何学);对称vs扭曲(分形，混沌);收敛的和发散的(极限，级数);不可能与不可能(组合学，概率)。简而言之，本研讨会将从博格斯的角度探讨数学的各种基本和基础课题。这个研讨会的学生会议项目可以聚焦于其他作家作品中的数学主题，或者探索任何数学主题。

兴趣的数量——明天的气温、欧洲的失业率、春假飞往劳德代尔堡的机票费用——很少是一个主要变量的简单函数。无论是好是坏，现实在数学上是多变量的。本课程介绍了多变量函数数学分析中使用的一系列主题和工具。向量、矩阵和微分方程的相互交织的理论及其应用将是这一年课程探索的中心主题。具体的主题包括二维、三维和更高维度的向量的代数和几何;点积、叉积及其应用;高维平面和线的方程;线性方程组的解，利用高斯消去法，行列式、逆和特征向量的理论和应用，三维固体的体积积分法，球和柱坐标系，以及各种类型微分方程的可视化和构造解的方法。会议工作将涉及学生选择的一些数学主题的调查。

在大学预科数学课程中，我们学习了基础代数的基本方法论、概念和应用。我们指定字母表中的字母抽象地表示未知的数量，并将现实世界(通常是复杂的)问题翻译成简单的方程，如果能找到这些方程的解，就能更好地理解眼前的情况。好吧，但代数还不止于此。高等代数研究各种类型的对象集(矩阵、多项式、函数、刚体运动等)以及存在于这些对象集上的操作。这种方法是公理的:假设少量的基本性质或公理，并试图从这些少数性质推导出数学系统的所有其他性质。这种抽象使我们能够同时研究满足一组给定公理的所有各种结构，并确定它们的共同点和不同点。具体的主题包括群，动作，同构，对称，排列，环，场和它们的各种应用。

我们的存在在于一个永恒的变化状态。苹果从树上掉下来;云层穿过广阔的农田，遮挡了好几天的阳光;与此同时，卫星在地球上快速运行，向我们的手机发送和接收信号。微积分的发明是为了开发一种语言来准确地描述和研究发生在我们周围的运动和变化。古希腊人开始详细研究变化，但害怕与无限搏斗;因此，直到17世纪，艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨等人驯服了无限大，才诞生了这一极为成功的数学分支。尽管只有几百年的历史，微积分已经成为自然科学和社会科学中不可或缺的研究工具。我们的研究从极限这一中心概念开始，进而探讨了分化与整合的双重过程。这一理论的许多应用将被考察。 For conference work, students may choose to undertake a deeper investigation of a single topic or application of the calculus or conduct a study of some other mathematically-related topic. This seminar is intended for students interested in advanced study in mathematics or sciences, students preparing for careers in the health sciences or engineering, and any student wishing to broaden and enrich the life of the mind.

本课程在对微分和积分这两个主题的初步研究之后，继续了数学探究的主线(参见微积分I课程描述)。本课程将探讨的主题包括指数函数和对数函数的微积分、积分理论在几何上的应用、可选坐标系、无穷级数和函数的幂级数表示。对于会议工作，学生可以选择对单个主题或微积分应用进行更深入的研究，或对其他与数学相关的主题进行研究。本研讨会面向对数学或科学的高级研究感兴趣的学生，准备在健康科学或工程领域从事职业的学生，以及任何希望拓宽和丰富思想生活的学生。极限、微分和积分的理论将在本学期开始时简要回顾。

在高中代数、几何和微积分课程之外，还有一个巨大而生动的数学世界。本研讨会将介绍这一优雅而强大的数学思想领域。以提高学生的数学推理和解决问题的能力为明确目标，这个研讨会提供了智力的终极锻炼。五个重要的主题交织在课程中:逻辑、证明、组合分析、离散结构和哲学。对于会议工作，学生可以设计和执行任何涉及数学的适当项目。这门课程是对高等数学学习感兴趣的学生的必修课，也强烈推荐对计算机科学、工程、法律、逻辑学和/或哲学有激情的学生。

“有一种观念腐蚀和扰乱了其他所有人。我说的不是恶，它的疆域是道德的疆域;我指的是无限。”20世纪极具影响力的阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯(Jorge Luis Borges)这样写道，尽管博尔赫斯不是唯一一个对这一题材着迷的人。事实上，在知识思想史上，无限的概念实际上一直是一个主题。苏格拉底之前的哲学家芝诺(Zeno)曾对与物理运动相关的无穷悖论表示担忧，这些悖论直到“微积分”的出现才得以完全解决。在后来的希腊时代，欧几里得给出了质数无限大的一个优美的证明;古代最伟大的应用数学家阿基米德认为无限是有限事物通过极限过程的自然延伸。近代早期的意大利修士、诗人、物理学家和数学家佐丹诺·布鲁诺(Giordano Bruno)被宗教裁判所烧死在火刑柱上，原因是他对日心说的无限和“邪恶”信仰的“反宗教”兴趣。伽利略几乎遭遇了同样的结果。 Newton and Leibniz simultaneously, yet independently, invented calculus, bridging the mathematical divide between the discrete and the continuous and harnessing the power imbedded in the concept of the infinitesimally small. The 19th-century German scholar Georg Cantor was the first to study Infinity with all of the usual rigor associated with other mathematical inquiries, though most of his contemporaries discredited his visionary efforts. Over the ages, writers, painters, musicians, and other artists have taken their turn in an effort to understand and depict infinity in its diverse forms. Though the approach of this first-year studies seminar will be decidedly mathematical, we will not hesitate to explore the notion of infinity from all of its multidisciplinary perspectives. Prior study of the calculus or more advanced mathematics is not a prerequisite for this course, but a willingness to explore and enjoy such hefty concepts is expected.

战争、选举、拍卖、劳资谈判、继承纠纷、甚至离婚——这些和许多其他冲突都可以作为游戏来成功地理解和研究。用社会科学家和数学家的话说，游戏是任何涉及两个或多个参与者(玩家)的情况，他们能够理性地在一组可能的行动(策略)中进行选择，从而导致对玩家来说具有不平等价值(收益或效用)的最终结果(结果)。博弈论是一门关于冲突的跨学科研究，它的主要目标是回答一个单一的、简单的、但惊人地复杂的问题:什么是最佳的“游戏”方式?虽然博弈论的原理已广泛应用于社会科学和自然科学，但其最大的影响是在经济学、政治学和生物学领域。本课程概述了该领域的基本技术和原理。主要的兴趣是将该理论应用于具有历史或当前利益的现实世界冲突。

什么是机会?我们如何衡量它?我们衡量超级百万彩票中奖的概率，是否与我们评估夏威夷火山爆发的可能性一样?有什么工具可以用来理解和度量不确定性和风险?对概率的理解如何更好地帮助我们在个人和职业生活中做出决定?我们如何在众多的选择中做出最好的选择?个人和企业如何在信息不完全和未来状态的巨大不确定性的情况下，有信心地做出关键决定?本课程以微积分为基础，介绍高级概率论、风险分析和运筹学(优化理论)，关注自然科学、商业、经济学和社会科学中的各种应用。探索主题将包括离散数学的基本基础(符号逻辑、证明技术和集合理论)、组合概率、显著离散和连续随机变量的分布(高斯正态、二项式、泊松等)、条件概率和独立性、联合分布、期望、方差、协方差、大数定律、中心极限定理、贝叶斯定理、马尔可夫链、随机过程、线性规划和强大的单纯形法，优化解对输入参数轻微变化的敏感性，对偶理论，整数规划，非线性优化，随机规划，以及优化理论的四个经典例子(运输/分配问题，网络流问题，饮食问题和旅行推销员问题)。利用数学软件，学生将获得计算机模拟艺术和最优解识别的实际经验。