菲利普订

我们的存在处于一种永恒的变化状态。一个苹果从树上掉下来；云层穿过广阔的农田，遮住了几天的阳光；与此同时，卫星环绕地球运转，向我们的手机发送和接收信号。微积分的发明是为了开发一种语言来准确地描述和研究我们所看到的变化。古希腊人开始详细研究变化，但害怕与无限搏斗；因此，直到17世纪，艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨等人才驯服了无限，并诞生了这一极其成功的数学分支。虽然只有几百年的历史，微积分已经成为自然科学和社会科学中不可或缺的研究工具。我们的研究从极限的中心概念开始，进而探讨分化和整合的双重主题。将对该理论的许多应用进行研究。对于会议工作，学生可以选择对单个主题或微积分的应用进行更深入的研究，或者在数学的其他分支中进行研究。本次研讨会的对象是对数学或科学的高级研究感兴趣的学生、准备从事健康科学或工程专业的学生，以及任何希望拓宽和丰富思想生活的学生。

牛顿和莱布尼茨的微积分非常成功，以至于科学原谅了其“流动”和“瞬逝量”的逻辑缺陷，微积分演变成了对实变量函数的研究——实分析是一种基础严谨性的模型，它已将数学定义为一门学科。在20世纪，对实数公理的探索揭示了实数线空间性质的微妙假设。这些性质，如连续性、可分性和维数，并不取决于大小，而是取决于更一般的位置概念。位置几何学，或者今天所说的拓扑，就是对这些性质的研究。这个为期一年的研讨会将从离散数学的预备课程开始，包括符号逻辑、证明技术和集合论。我们将在网络和曲面的上下文中研究这些主题，它们是一些最直观的拓扑对象。接下来将深入研究实数、序列和级数、极限、连续性、导数和积分。为了促使我们修改这些熟悉的微积分术语，研讨会将阅读并讨论重要的反例，如无处可微连续函数、无穷级数的重排和康托集。年底，我们将回到拓扑结构。这将使我们有机会了解曲线、曲面和它们之间的贴图的几何特性中有多少可以根据点集之间的关系找到统一的表达式。会议工作将阐明研讨会的想法，并可能将其应用于自然科学、计算机科学或经济学中的数学模型。

这个研讨会将从数学的角度研究自然界的模式和设计。例子主要是视觉上的，包括珠饰、编织、瓷砖、树木、波浪和水晶等等。课堂的研讨会形式将给学生机会去发现，合作，结构支配模式。学生可以期望使用视觉和逻辑推理来回答开放式问题，涉及动手实验和创造性解决问题。在本学期结束时，学生将知道如何在一个、两个或三个维度上复制给定的图案;如何识别其对称性;以及如何将其与相关结构进行比较。对于会议，有可能在社区组织安排服务学习，视情况而定。不需要特殊的数学背景。本课程推荐给任何对数学模式科学感兴趣的学生，并强烈推荐给学习教育学的学生。

在大学前数学课程中，我们学习了代数的基本方法论和概念。我们指定了字母表的字母，以抽象表示未知或未指定的数量。我们发现如何将现实世界（并且通常复杂的）问题转化为简单的方程，如果可以找到它们的解决方案，请遵循更高的理解。但代数不会结束那里。摘要代数检查这些集合上的对象（数字，矩阵，多项式，函数，想法，操作。该方法通常是公理的：一个假设少量的基本属性或公理，并尝试从这些中推断数学系统的所有其他特性。这种抽象允许我们同时学习满足给定的一组公理的所有结构，并识别它们的共普拉维斯及其差异。要涵盖的具体主题包括这些代数结构的组，动作，同义，对称性，置换，环，字段和应用于数学之外的问题。

我们的存在存在于永恒的变化之中。一个苹果从树上掉下来;云朵飘过广阔的农田，挡住了好几天的阳光;与此同时，卫星环绕地球，向我们的手机发送和接收信号。微积分的发明是为了发展一种语言来准确地描述和研究我们周围发生的运动和变化。古希腊人开始了对变化的详细研究，但却害怕与无限搏斗;所以直到17世纪，艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨等人才驯服了无限，并诞生了这个极其成功的数学分支。尽管只有几百年的历史，微积分已经成为自然科学和社会科学中不可或缺的研究工具。我们的研究从极限的中心概念开始，并继续探索分化和整合的双重过程。将考察该理论的许多应用。 For conference work, students may choose to undertake a deeper investigation of a single topic or application of calculus or conduct a study of some other mathematically-related topic. This seminar is intended for students interested in advanced study in mathematics or sciences, students preparing for careers in the health sciences or engineering, and any student wishing to broaden and enrich the life of the mind.

本课程在微分和积分的双重主题的初步研究之后，继续数学探究的主线(见微积分I课程描述)。本课程探索的主题包括指数和对数函数的演算，积分理论在几何上的应用，可选的坐标系统，无穷级数和函数的幂级数表示。对于会议工作，学生可以选择对单个主题或微积分的应用进行更深入的研究，或者对一些其他数学相关的主题进行研究。本研讨会面向对数学或科学的高级研究感兴趣的学生，准备从事健康科学或工程职业的学生，以及希望拓宽和丰富思想生活的学生。极限、微分和积分理论将在本学期开始时简要回顾。

当你大声读这个句子的时候，你的声音会产生一个几乎连续的声音信号。然而，当它出现在页面上时，前一个句子由79个不同的字符组成——包括字母和标点符号。测量模式——无论是连续的还是离散的——是最重要的存在理由不同的数学分支已经发展来解决这两种模式。因此，微积分课程将讨论运动和其他不断变化的函数。相比之下，离散数学解决了计数、顺序、计算和逻辑问题。我们将探讨这些主题及其对数学哲学和计算机科学的影响。本次研讨会的形式为（数学）写作研讨会。我们将共同努力，确定和再现数学解释和证明的关键形式要素，因为它们出现在数学文献和彼此的写作中。本研讨会专为对高级数学学习感兴趣的学生设计，强烈推荐对计算机科学、法律、逻辑或哲学感兴趣的学生参加。强烈建议您先学习微积分。

文艺复兴时期绘画中线性透视的发展是数学和艺术交汇的最明显的例子之一。借用艺术史学家帕诺夫斯基(Erwin Panofsky)的话说，透视将感知空间重新塑造为一个统一的、无限的、抽象的空间，具有自己的逻辑和美学属性。透视构造所需要的数学是由欧几里得在古代研究出来的。超越欧几里得的数学使多么新颖的美学和逻辑形式成为可能元素？本次研讨会将探讨现代数学思想对20世纪西方创作和表演艺术的影响。虽然我们的目标不是对整个上个世纪进行全面的调查，但我们将调查一系列的案例研究，包括:德·派蒂尔和蒙德里安的绘画;连续主义和勋伯格的音乐;德国的包豪斯及其遗产;战后法国文学中的“文学结构的秘密实验室”OuLiPo;美国后现代舞蹈;以及结构胶片等。数学主题将包括集合，逻辑，非欧几里德几何，拓扑和机会。研讨会的中心目标是评估结构在艺术和数学实践中的意义。 This course assumes no particular expertise with mathematics or cultural history. Seminar readings and a program of art viewings will establish a basis for investigating the relevance of fundamental mathematical concepts to modern literature and the arts. Outside the seminar, students will attend both individual and group conferences. Weekly individual conference meetings for the first six weeks of the fall semester will give students the opportunity to develop their first individualized conference projects, focusing on a particular mathematical structure. Individual conferences after the first six weeks will be held on a weekly or biweekly basis, depending on student progress. During the fall semester, a series of group conferences will afford students time for art viewings and collaborative writing and problem solving.

牛顿和莱布尼茨的微积分与现代数学的微积分有很大不同。花了一个多世纪的时间，才发展出一种逻辑上合理的方法来处理微积分的“流动”和“瞬逝量”。从某种意义上说，19世纪发生的微积分作为实变量实分析函数研究的形式化是如此成功，以至于它成为了将数学定义为一门学科的基础严密性模型。典型的本科生在从基于技术的微积分课程到基于证明的真实分析课程的过程中，这种成熟被重新概括。虽然我们的主题对微积分、实数、序列和级数、极限、连续性、导数和积分听起来很熟悉，但它们的演示将具有新的数学严谨性。强调精确的定义和明确的证明不仅仅是为了培养学生的技术能力，尽管这是本课程所期望的结果。相反，这些更精细的区分将受到反例的推动，例如无处可微的连续函数和无限级数的重新排列，这些反例挑战了我们关于数字和实数线的基本直觉。会议工作将分配给澄清研讨会想法和探索其他数学主题。

很难夸大数学对科学的重要性。二十世纪聚会John Von Neumann甚至宣称“科学不试图解释，他们几乎没有尝试解释，他们主要制作模型。通过一个模型是一种数学构造，...描述了观察到的现象。“这两个学期的序列将向学生引入构成自然和社会科学模式的基本数学成分。该序列中的第一个课程将集中精力扩展单可变演算中开发的概念和工具，以便使用多个变量。多变量的微积分是在两种或三个空间尺寸中研究物理现象的自然环境。我们从向量的概念开始，一个结合数量和方向的有用设备，并继续传递到向量函数，它们的衍生物（梯度，分歧和卷曲），它们的积分（线路积分，表面积分和卷积分）。单变微积分中出现的衍生物和积分之间的逆关系接受了多变量背景下的新含义和深度，并且课程的目标是通过绿色，高斯和斯托克斯的定理来阐明这一点。这些结果对于学生追求物理，工程或经济学的学生将特别感兴趣，在那里他们被广泛适用。学生将通过会议工作获得经验开发数学模型，这将在基于学生兴趣的基础上深入了解自然，正式或社会科学中的数学模型的研讨会。

在许多数学模型的中心，一个经常发现微分方程。牛顿的议案法则，人口增长的物流模型和金融中的黑人学术模型是由微分方程定义的模型的所有示例;也就是说，根据未知功能及其衍生物的方程。大多数微分方程是无法解决的;然而，从易外的示例中学习很多东西，包括一阶方程和二阶线性方程。由于衍生物本身是线性近似的，因此微分方程的重要方法涉及线性变换的代数或线性代数。在数学建模中开始研究的研究，线性代数将在课程中占据核心作用，主题包括线性独立，高斯消除，特征向量和特征值。学生将通过会议工作获得经验开发数学模型，这将在基于学生兴趣的基础上深入了解自然，正式或社会科学中的数学模型的研讨会。

如果你在一张纸上画两条直线，不难让它们相交。然而，想象一下，这些线条从页面向两个方向延伸，没有尽头。这些假设的界线交叉了吗？令人惊讶的是，这个平凡的问题触及了我们现代空间概念的核心。根据您的经验，这些线可能会交叉，除非它们以完全相同的角度离开页面边缘。在这种情况下，我们称之为平行线；这就是欧几里德对“元素”的第五个（或“平行”）假设的答案。大约2000年后，数学家们惊人地认识到直线不必遵循平行假设。由此产生的非欧几里得几何学对于最初构思它们的数学家来说是如此出乎意料，以至于有一位名叫查诺斯·博莱亚的数学家评论道：“我凭空创造了一个奇怪的新宇宙。”本课程将探索19世纪首次出现的欧几里得几何学的替代品。这些包括双曲、球面和射影几何，以及我们将共同设计的更特殊的几何。我们对这些奇异宇宙的探索将借助于包括绘画、计算机图形动画和视频游戏技术在内的可视化技术。自始至终，我们将讨论非欧几里德革命对天文学、哲学和文化的影响。

本讲座将探讨现代数学思想对20世纪西方创作和表演艺术的影响。欧几里得的几何命题和证明集，题目为要素，是一种逻辑推理的原型，自古以来，对数学以外的领域有着广泛的影响。19世纪的非欧几里得革命不仅引发了几何学的革新，也引发了数学的革新。一方面，我们将研究数学内容作为新表达形式的来源，包括非欧几里德几何、四维、集合理论、函数、网络、拓扑和概率。另一方面，我们将研究数学实践和艺术家和作家，他们有意或无意地反映了现代数学的态度，试图与过去决裂。虽然这堂课的目的不是全面考察整个上个世纪，但我们将调查一系列的案例研究，包括:俄罗斯至上主义艺术;西欧建筑和设计中的包豪斯学派;西方音乐中的连续主义;战后法国文学中的“文学结构的秘密实验室”OuLiPo;以及20世纪60-70年代北美后现代舞蹈的起源等。本课程不设数学或文化史方面的专门知识。 Course readings and a program of art and performance viewings, both in lecture and off campus, will establish a basis for investigating the relevance of fundamental mathematical concepts to modern literature and the arts. Group conferences will provide practice for students, working with such mathematical concepts as they relate to particular artistic practices.